使用OSQP解决二次凸优化(QP)问题
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什么是二次凸优化问题
可以转化成满足如下方程的优化问题B被称为二次凸优化(QP)问题。
min_x 0.5 * x'Px + q'x s.t. l <= Ax <= u其中P是对称正定矩阵。所以目标函数的全局最小值就是其极小值。在二维的情况下，目标函数的图像类似下面的图。这样大概有一个印象就好。
约束类型可以是等式约束和不等式约束。
当需要设置等式约束时可以将需要相等的行设置为l[i] == u[i]。
单侧的不等式约束，可以将最小或最大侧设置成无穷小或无穷大。如何构造二次凸优化(QP)问题
这是一个比较大的问题。将很多实际的问题进行数学建模，然后转成凸优化问题。这样就能解了。这里仅说明一下这样的思路。
如何解二次凸优化(QP)问题
这里介绍如何使用OSQP库进行求解。
我已经将依赖的库合在一起了。可以在这里下载https://github.com/shoufei403/OSQP
使用osqp库和osqp-eigen库。osqp-eigen库是对osqp库的封装，其提供了更好用的eigen接口。主要使用的接口如下：
// set the initial data of the QP solver //矩阵A为m*n矩阵 solver.data()->setNumberOfVariables(NumberOfVariables); //设置A矩阵的列数，即n solver.data()->setNumberOfConstraints(NumberOfConstraints); //设置A矩阵的行数，即m if(!solver.data()->setHessianMatrix(hessian)) return 1;//设置P矩阵 if(!solver.data()->setGradient(gradient)) return 1; //设置q or f矩阵。当没有时设置为全0向量 if(!solver.data()->setLinearConstraintsMatrix(linearMatrix)) return 1;//设置线性约束的A矩阵 if(!solver.data()->setLowerBound(lowerBound)) return 1;//设置下边界 if(!solver.data()->setUpperBound(upperBound)) return 1;//设置上边界下面的实例来源于https://ww2.mathworks.cn/help/optim/ug/quadprog.html?s_tid=srchtitle
- 具有线性约束的二次规划
hessian.resize(2,2); hessian.insert(0,0) = 1; hessian.insert(1,0) = -1; hessian.insert(0,1) = -1; hessian.insert(1,1) = 2; std::cout << "hessian:" << std::endl << hessian << std::endl; gradient.resize(2); gradient << -2, -6; std::cout << "gradient:" << std::endl << gradient << std::endl; linearMatrix.resize(3,2); linearMatrix.insert(0,0) = 1; linearMatrix.insert(0,1) = 1; linearMatrix.insert(1,0) = -1; linearMatrix.insert(1,1) = 2; linearMatrix.insert(2,0) = 2; linearMatrix.insert(2,1) = 1; std::cout << "linearMatrix:" << std::endl << linearMatrix << std::endl; lowerBound.resize(3); lowerBound << -OsqpEigen::INFTY, -OsqpEigen::INFTY, -OsqpEigen::INFTY; std::cout << "lowerBound:" << std::endl << lowerBound << std::endl; upperBound.resize(3); upperBound << 2, 2, 3; std::cout << "upperBound:" << std::endl << upperBound << std::endl; int NumberOfVariables = 2; //A矩阵的列数 int NumberOfConstraints = 3; //A矩阵的行数- 具有线性等式约束的二次规划
hessian.resize(2,2); hessian.insert(0,0) = 1; hessian.insert(1,0) = -1; hessian.insert(0,1) = -1; hessian.insert(1,1) = 2; std::cout << "hessian:" << std::endl << hessian << std::endl; gradient.resize(2); gradient << -2, -6; std::cout << "gradient:" << std::endl << gradient << std::endl; linearMatrix.resize(1,2); linearMatrix.insert(0,0) = 1; linearMatrix.insert(0,1) = 1; std::cout << "linearMatrix:" << std::endl << linearMatrix << std::endl; lowerBound.resize(1); lowerBound << 0; std::cout << "lowerBound:" << std::endl << lowerBound << std::endl; upperBound.resize(1); upperBound << 0; std::cout << "upperBound:" << std::endl << upperBound << std::endl; int NumberOfVariables = 2; //A矩阵的列数 int NumberOfConstraints = 1; //A矩阵的行数- 具有线性约束和边界的二次最小化
该问题即包含了等式约束也包含了不等式约束。写成矩阵形式如下：
hessian.resize(3,3); hessian.insert(0,0) = 1; hessian.insert(1,0) = -1; hessian.insert(2,0) = 1; hessian.insert(0,1) = -1; hessian.insert(1,1) = 2; hessian.insert(2,1) = -2; hessian.insert(0,2) = 1; hessian.insert(1,2) = -2; hessian.insert(2,2) = 4; std::cout << "hessian:" << std::endl << hessian << std::endl; gradient.resize(3); gradient << 2, -3, 1; std::cout << "gradient:" << std::endl << gradient << std::endl; linearMatrix.resize(4,3); linearMatrix.insert(0,0) = 1; linearMatrix.insert(1,0) = 0; linearMatrix.insert(2,0) = 0; linearMatrix.insert(3,0) = 1; linearMatrix.insert(0,1) = 0; linearMatrix.insert(1,1) = 1; linearMatrix.insert(2,1) = 0; linearMatrix.insert(3,1) = 1; linearMatrix.insert(0,2) = 0; linearMatrix.insert(1,2) = 0; linearMatrix.insert(2,2) = 1; linearMatrix.insert(3,2) = 1; std::cout << "linearMatrix:" << std::endl << linearMatrix << std::endl; lowerBound.resize(4); lowerBound << 0, 0, 0, 0.5; std::cout << "lowerBound:" << std::endl << lowerBound << std::endl; upperBound.resize(4); upperBound << 1, 1, 1, 0.5; std::cout << "upperBound:" << std::endl << upperBound << std::endl; int NumberOfVariables = 3; //A矩阵的列数 int NumberOfConstraints = 4; //A矩阵的行数遇到的问题
- 编译osqp-eigen库时报下面的错误：
CMake Error at cmake/OsqpEigenDependencies.cmake:12 (find_package): Could not find a configuration file for package "Eigen3" that is compatible with requested version "3.2.92". The following configuration files were considered but not accepted: /usr/lib/cmake/eigen3/Eigen3Config.cmake, version: unknown Call Stack (most recent call first): CMakeLists.txt:63 (include)解决措施：需要将原来旧的eigen库删掉，重新按照最新的eigen库。
sudo rm -rf /usr/include/eigen3 sudo rm -rf /usr/lib/cmake/eigen3重新安装eigen，注意要安装到原来的位置
/usr/include，不然catkin_make会报错。mkdir build cd build cmake .. -DCMAKE_INSTALL_PREFIX=/usr sudo make install- 编译osqp-eigen库时报
target_compile_features specified unknown feature cxx_std_14 for target错误。
解决措施：将cmake升级到3.14版本后可以正常编译。但是sudo apt remove cmake时，把很多ros的库也删掉了，导致roscore都运行不了。
其实将CMakeList.txt文件更改一下就好了：
add_definitions(-std=c++14) #添加这一行 #target_compile_features(${LIBRARY_TARGET_NAME} PUBLIC cxx_std_14) #注释这一行- 使用osqp-eigen库时出现这样的问题：
In file included from /usr/local/include/OsqpEigen/OsqpEigen.h:10:0, from /catkin_ws/src/MinimumSnap-Trajectory-Generation/waypoint_trajectory_generator/src/trajectory_generator_osqp.cpp:10: /usr/local/include/OsqpEigen/Constants.hpp:12:18: fatal error: osqp.h: No such file or directory这是因为头文件的包含路径有问题。按下图方式更改osqp-eigen库头文件，再重新编译安装。
Solver.tpp文件中对osqp库头文件的引用要改成下面的方式#include <osqp/auxil.h> #include <osqp/scaling.h>- 运行程序链接osqp库时报错。
error while loading shared libraries: libosqp.so: cannot open shared object file: No such file or directory
解决措施：需要添加相应的链接地址
···
sudo vim /etc/ld.so.conf
···
在里面添加一行
/usr/local/lib最后再执行一下下面的语句
sudo /sbin/ldconfig- 运行链接了osqp库和OsqpEigen的程序时，总是会报
Segmentation fault (core dumped)。
发现是CMakeLists的写法不同导致的。
原来自己的写法是：
set(ADDITIONAL_CXX_FLAG "-Wall -O3 -march=native") //事实上是这一条不能加 target_link_libraries(trajectory_generator_node_test qdldl osqp OsqpEigen )官方的例子是这样写的。
cmake_minimum_required(VERSION 3.1) set (CMAKE_CXX_STANDARD 11) project(OsqpEigen-Example) find_package(OsqpEigen) find_package(Eigen3) include_directories(SYSTEM ${EIGEN3_INCLUDE_DIR}) #MPCExample add_executable(MPCExample src/MPCExample.cpp) target_link_libraries(MPCExample OsqpEigen::OsqpEigen) #Simple Example add_executable(SimpleExample src/simpleqp_example.cpp) target_link_libraries(SimpleExample OsqpEigen::OsqpEigen)参照官方的例子写就正常了。
- 具有线性约束的二次规划